Gavro Vukovič byl synem slavného černohorského vůdce a senátora Miljana Vukova Vešoviče, hrdiny rodu Vasojevičů. Příjmení Vukovič přijal po pradědečkovi Vukovi. Měl bratra Todora, který byl také vojenským velitelem.

Základní školu vychodil v srbském pravoslavném klášteře Đurđe Stupy (Berane) a v Cetyni. Střední školu absolvoval ve francouzské Nice a v Bělehradu (1869). Doktorem práv se stal v roce 1873 (1872?) v Bělehradě jako první Černohorec.

Od roku 1874 byl tajemníkem Senátu. Poté byl členem nejvyššího soudu. Za černohorsko-otomanských válek 1876-1878 působil jako velitel a následně podnikl řadu diplomatických misí, které směřovaly k Berlínskému kongresu. Kníže Nikola I. Petrovič Njegoš jej jmenoval v roce 1879 velvyslancem v Istanbulu (chargé d'affaires), kde působil do roku 1881 a po krátké přestávce opět od roku 1882 do roku 1884 (1885?). V letech 1899-1905  byl černohorským ministrem zahraničí.  V letech 1906-1914 byl předsedou Národního Senátu (Státní rady). V roce 1906 byl zvolen do Parlamentu a byl znovuzvolen v roce 1914. Po vzniku Jugoslávie byl opět velvyslancem v Istanbulu. Zemřel 29.6.1923  a je pohřben na hřbitově u kláštera Đurđevi Stupovi u Berane.